수학 문제, 문자를 줄이면 쉬워져요!
안녕하세요! 복잡해 보이는 수학 문제 앞에서 막막했던 경험, 다들 한 번쯤 있으시죠? 특히 수열 문제는 기호도 많고 식도 길어서 어렵게 느껴질 때가 많아요. 하지만 걱정 마세요! 문제를 푸는 데 아주 중요한 전략이 있답니다. 바로 문자를 줄이는 것이에요. 이번 글에서는 수열문제를 풀 때 어떻게 문자를 줄이고 문제를 쉽게 만드는지 함께 알아봐요.
수열문제를 처음 만났을 때, 어디서부터 시작해야 할지 막막할 수 있어요. 문제에는 여러 가지 정보와 기호들이 얽혀 있거든요. 하지만 문제 풀이의 첫걸음은 바로 문제를 단순화하는 데 있어요 A. 복잡한 식이나 여러 개의 문자에 압도당하지 않는 것이 중요하죠.
수학 문제를 풀 때 가장 핵심적인 전략 중 하나는 바로 문자를 줄이는 것이에요 문제에 여러 종류의 미지수가 있다면 풀기가 훨씬 까다로워지거든요. 그래서 우리는 어떻게 하면 문자의 개수를 하나라도 줄일 수 있을까, 여기에 집중해야 해요. 문자가 줄어들면 식이 훨씬 간단해지고 문제의 핵심이 더 잘 보이게 된답니다.
- 시그마, 어렵게만 느껴지나요?
수열에서 자주 만나는 기호 중에 시그마(∑)가 있어요. 시그마는 합을 나타내는 기호인데, 처음 보면 어렵게 느껴질 수 있죠. 하지만 시그마도 몇 가지 규칙만 알면 쉽게 다룰 수 있답니다. 시그마는 마치 덧셈처럼 분배가 가능해요.
예를 들어 (ak + bk)의 시그마는 ak의 시그마와 bk의 시그마를 더한 것과 같답니다.
또 시그마안에서 문자에 해당되지 않는 상수 부분은 시그마 앞으로 빼낼 수 있어요. 마치 식을 정리할 때 계수
를 앞으로 빼내는 것과 같아요. 수학에서 어떤 식에 직접적으로 참여하지 않거나 상수인 경우는 항상 식 앞쪽으로 빼주는 것이 좋아요.
예를 들어 시그마 k=1부터 10까지 1을 계산한다고 생각해 봐요. k가 없으니 이건 상수 1을 열 번 더하라는 뜻이에요. 따라서 그 값은 10이 된답니다. 시그마 k=1부터 10까지 k를 더하면 55가 되지만, 이건 상수가 아니라 k값에 따라 변하는 경우이죠. 이렇게 상수를 잘 구분해서 처리하는 것이 중요해요.
- AK와 BK, 두 개의 문자가 헷갈린다면?
문제에 ak와 bk처럼 두 개의 문자가 동시에 등장하면 정말 복잡해 보여요. 계산하기가 애매하게 느껴지죠. 이럴 때 바로 문자를 하나로 통일하는 전략이 필요해요.
만약 ak를 bk로 표현할 수 있는 식이 있다면, 그 식을 이용해서 ak자리에 bk로 표현된 식을 대신 넣어주는 것이에요. 예를 들어 ak가 2 bk- 10과 같다고 주어졌다면, ak가 있는 자리에 과감하게 2 bk- 10을 대입하는 거죠.
이렇게 하면 문제에 있는 모든 ak가 bk로 바뀌면서 문자가 하나로 통일된답니다.
- 문자를 하나로 만들면 어떤 일이 일어날까요?
문자를 ak에서 bk로 하나로 통일하고 나면 이제 식을 정리할 차례예요. 시그마 기호는 그대로 두고, 대입
한 식을 잘 풀어서 정리하는 거죠. ak자리에 2 bk- 10을 넣었다면, 이제 시그마안에 있는 (3 * (2 bk
– 10) + bk)를 계산하는 거예요.
식을 풀어보면 시그마(6 bk- 30 + bk)가 되겠죠. 여기서 같은 문자인 bk는 함께 묶어서 계산할 수 있어요. 마치 일반 식에서 문자를 계산하듯이 시그마 k=1부터 10까지 bk와 6 시그마 k=1부터 10까지 bk를 합쳐서 7 시그마 k=1부터 10까지bk로 만들 수 있답니다. 상수항인 -30은 시그마밖으로 빼낼 수 있고요. 이렇게 해서 7 * 시그마
k=1부터 10까지 bk- 30이라는 아주 간단한 식으로 정리할 수 있어요.
- 마지막 계산, 어렵지 않아요!
문자를 하나로 통일하고 식을 정리했더니 7 시그마 k=1부터 10까지 bk- 30 이라는 식이 나왔죠. 이제 거의 다 왔어요! 문제에서 아마 이 식의 전체 값이나 일부분의 값을 알려줬을 거예요. 예를 들어 문제에서 7 시그마 k=1부터 10까지 bk
– 30의 값이 33이라고 주어졌다면, 이제 간단한 일차 방정식을 풀듯이 계산하면 된답니다.
30을 반대편으로 넘겨주면 7 * 시그마 k=1부터 10까지 bk 는 33 + 30, 즉 63이 되겠죠. 이제 시그마
k=1부터 10까지 bk의 값만 남기기 위해 양변을 7로 나누어 주면 돼요. 63 나누기 7은 9이니까, 최종적으로 시그마
k=1부터 10까지 bk의 값은 9가 되는 거예요. 어때요, 처음의 복잡했던 문제보다 훨씬 간단해졌죠? 이렇게 문자를 줄이고 식을 정리하면 어떤 수열문제든 해결할 수 있답니다!
1:1 맞춤형 수업으로 수학&과학에 흥미를 느끼도록 :)!
참된 교육자가 해야할 일은, 아이에게 내가 아는 것을 전달하기 보다는 그 아이가 알고 있는 내용에 공감하며 아이 스스로 그 내용을 옳은 방향으로 적립시킬 수 있도록 함께 해주는 것이라고 생각합니다.
아이의 이해력이나 진행 속도가 또래에 비해 조금 뒤쳐져도 충분한 시간과 학습 환경만 조성된다면 반드시 성장한다고 믿습니다.
믿고 맡겨주신다면 따뜻한 소통과 확실한 결과로 보답드리겠습니다.